Sistemas Digitais
Duração de Referência: 36 horas
1. Apresentação
Este módulo tem como objectivo fornecer aos alunos conhecimentos adequados à compreensão dos diversos sistemas de numeração existentes e qual a sua importância para o funcionamento de um computador. Pretende-se ainda que percebam o funcionamento básico dos circuitos digitais associados às várias partes de um computador.
2. Objectivos de Aprendizagem
No final deste módulo pretende-se que o aluno seja capaz de:
• Identificar os sistemas de numeração utilizados pelos computadores e aplicações
informáticas;
• Converter correctamente valores entre os diversos sistemas de numeração;
• Utilizar correctamente a Álgebra de Boole para resolver problemas;
• Reconhecer Circuitos Lógicos;
• Criar e utilizar Circuitos Lógicos.
3. Âmbito dos Conteúdos
1. Sistemas de Numeração e Códigos
• Sistemas de Numeração
• Sistema Decimal
• Sistema Binário
• Sistema Octal
• Sistema Hexadecimal
• Conversão entre Sistemas
• Códigos
2. Álgebra de Boole e Circuitos Lógicos
• Introdução
• Constantes e Variáveis de Boole
• Tabelas de Verdade
• Operação OR
• Operação AND
• Operação NOT
• Análise Algébrica de Circuitos Lógicos
• Portas NAND e NOR
• Portas EXCLUSIVE-OR e EXCLUSIVE-NOR
• Teoremas da Álgebra de Boole
• Teoremas de DeMorgan
• Representações alternativas das portas
• Símbolos lógicos IEEE/ANSI
• Síntese de Circuitos Combinatórios
SISTEMA DECIMAL
No sistema decimal existem dez símbolos numéricos, “algarismos”: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Através das combinações adequadas destes símbolos, constrói-se os números do Sistema Decimal. A regra de construção consiste na combinação sequencial dos símbolos, de modo que, o valor do número depende da posição dos “algarismos”.
A análise da figura leva a concluir que um número decimal é um somatório dos seus“algarismos” multiplicados, cada um, por uma base 10 de expoentes sequenciais.
Formação de um número decimal
SISTEMA BINÁRIO
A codificação binária “base 2” é formada apenas por dois símbolos diferentes:
• o símbolo lógico “0”
• o símbolo lógico “1”
Estes “digitos” repetem-se na estrutura da numeração, de acordo com as seguintes regras:
• o dígito zero “0” significa zero quantidades ou unidades
• o dígito um “1” significa uma quantidades ou uma unidade
• o dígito dois “2” não existe no sistema binário
Se procedermos como no sistema decimal; repetimos o zero “0” na sequência de contagem, e colocamos um “1” na coluna imediatamente à esquerda.
Exemplos
- O valor decimal 2 é representado em binário por: 1 0 diz-se “um, zero”
- O valor decimal 3 é representado em binário por:1 1 diz-se “um, um”
- O valor decimal 4 é representado em binário por: 1 0 0 diz-se “um, zero, zero”
- O valor decimal 8 é representado em binário por: 1 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, Zero”
- O valor decimal 10 é representado em binário por: 1 0 1 0 diz-se “um, zero, um, Zero”
- O valor decimal 16 é representado em binário por: 1 0 0 0 0 diz-se “um, zero, zero, zero, zero”
Podemos assim concluir que o valor de cada algarismo binário “digito” varia de modo análogo ao sistema decimal, com a diferença de que, neste caso, a base das potências que multiplicam qualquer posição é de valor 2, “base 2”.
CONVERSÃO BINÁRIO-DECIMAL
Para se efectuar a correspondência entre a numeração binária e a numeração decimal, deveremos ter em conta as seguintes regras:
1. Multiplicam-se todos os dígitos binários pelo valor decimal da potência de 2 correspondente ao peso de cada dígito.
2. Somam-se os resultados obtidos.
3. O resultado da soma é o equivalente decimal do número binário.
Vejamos alguns exemplos:
EXERCÍCIO:
Converter os seguintes números binários para o sistema decimal:
a) 1110(2) = 14(10)
b) 101(2) = 5(10)
c) 101010(2) = 42(10)
d) 1110011(2) = 115(10)
e) 11001110(2) = 206(10)
f) 101101011(2) = 363(10)
CONVERSÃO DECIMAL- BINÁRIO
A conversão de números decimais para números binários é feita dividindo-se o número decimal por 2 até que o resultado seja zero. O número binário correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última divisão para a primeira.
EXERCÍCIO:
Converter os seguintes números binários para o sistema decimal:
a) 14(10) = 1110(2)
b) 5(10) = 101(2)
c) 42(10) = 101010(2)
d) 115(10) = 1110011(2)
e) 206(10) = 11001110(2)
f) 363(10) = 101101011(2)
SISTEMA HEXADECIMAL
O Sistema hexadecimal, tal como o nome indica, é formado por 16 símbolos “dígitos” diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 do sistema decimal e as letras A,B,C,D,E,F.
Estas letras, em correspondência com o sistema decimal, equivalem aos valores 10, 11, 12, 13, 14, 15, respectivamente.
Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração.
O sistema de numeração hexadecimal é muito utilizado na programação de microprocessadores, especialmente nos equipamentos de estudo e sistemas de desenvolvimento.
Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em potências da sua base, neste caso 16.
Símbolos básicos
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F
Repetição dos símbolos básicos
10 … … 19 1A 1B 1C 1D 1E 1F 20 …
O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo, idêntico aos outros sistemas de numeração.
Conversão hexadecimal - decimal
Para converter um número hexadecimal num número decimal, basta aplicar a fórmula genérica já conhecida :
Conversão decimal – hexadecimal
O processo é idêntico a conversão Decimal - Binário, dividindo-se o número Decimal pela base 16 até que o resultado seja zero. O número Hexadecimal correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última para a primeira.
Conversão binário – hexadecimal
A conversão Binário - Hexadecimal é feita transformando-se grupos de quarto dígitos binários, no sentido da direita para a esquerda, directamente em números hexadecimais.
Caso o último grupo à esquerda não possua 4 dígitos, deve-se completar com zeros.
Conversão hexadecimal – binário
A conversão de números Hexadecimais em Binários é feita transformando-se os símbolos Hexadecimais directamente em números binários de 4 dígitos.
Os zeros à esquerda do último grupo da esquerda podem ser omitidos, pois não valem nada.
SISTEMA OCTAL
O Sistema octal, tal como o nome indica, é formado por 8 símbolos “dígitos” diferentes. Estes símbolos são os conhecidos dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7 do sistema decimal.
Vejamos a correspondência entre os três sistemas de numeração.
Decimal
|
Binário
|
Octal
|
0
|
000
|
0
|
1
|
001
|
1
|
2
|
010
|
2
|
3
|
011
|
3
|
4
|
100
|
4
|
5
|
101
|
5
|
6
|
110
|
6
|
7
|
111
|
7
|
Tal como nos sistemas anteriores, podemos desenvolver qualquer número em potências da sua base, neste caso 8.
Símbolos básicos
0 1 2 3 4 5 6 7
Repetição dos símbolos básicos
0 … 6, 7, 10, … … 17, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 30, …
O primeiro símbolo da direita é sempre o menos significativo e o primeiro símbolo da esquerda é sempre o mais significativo, idêntico aos outros sistemas de numeração.
Conversão decimal – Octal
O processo é idêntico a conversão decimal - binário ou decimal – hexadecimal dividindo-se o número Decimal pela base 8 até que o resultado seja zero. O número octal correspondente é obtido agrupando-se os “restos” das divisões no sentido da última para a primeira.
Converter 9010 para octal.
90 |8
2 11 |8
3 1 |8
1 0
9010 = 1328
Converter 12810 para octal.
128 |8
0 16 |8
0 2 |8
2 0
12810 = 2008
Conversão octal – decimal
Para converter um número octal num número decimal, basta aplicar a fórmula genérica já referida anteriormente (ver sistema hexadecimal) utilizando como base o valor 8.
Converter 3458 em decimal.
3458 = 3x82 + 4x81 + 5x80
3458 = 192 + 32 + 5 = 22910
Converter 4778 em decimal.
4778 = 4x82 + 7x81 + 7x80
4778 = 256 + 56 + 7 = 31910
Conversão binário – Octal
A conversão Binário - octal é feita transformando-se grupos de três dígitos binários, no sentido da directa para a esquerda, directamente em números octais.
Converter 11100102 em octal
1 110 010 = 1628
1 6 2
Converter 100012 em octal
10 001 = 218
2 1
Caso o último grupo à esquerda não possua 3 dígitos, deve-se completar com zeros.
Conversão octal – binário
A conversão de números octais em Binários é feita transformando-se os símbolos octais directamente em números binários de 3 dígitos.
Exemplos
Converter 778 em binário
7 7 logo 778 =1111112
111 111
Converter 1238 em binário
1 2 3 logo 1238 =10100112
001 010 011
Os zeros à esquerda, do último grupo da esquerda, podem ser omitidos, pois não valem nada.
